Ука­жи­те но­ме­ра пря­мо­уголь­ни­ков, изоб­ра­жен­ных на ри­сун­ках 1−5, при вра­ще­нии ко­то­рых во­круг сто­ро­ны AD по­лу­ча­ет­ся ци­линдр, осе­вым се­че­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся квад­рат.

1)

2)

3)

4)

5)

На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см х 1 см изоб­ражён па­рал­ле­ло­грамм. Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ука­жи­те номер вы­ра­же­ния для опре­де­ле­ния на­ту­раль­но­го числа, со­дер­жа­ще­го с де­сят­ков и 3 еди­ни­цы (с  — цифра).

Опре­де­ли­те, на сколь­ко не­из­вест­ное сла­га­е­мое мень­ше суммы, если из­вест­но, что x + 20  =  80.

Среди точек С(33), D(24), Е(28), F(43), К(12) ко­ор­ди­нат­ной пря­мой ука­жи­те точку, сим­мет­рич­ную точке А(5) от­но­си­тель­но точки В(19).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Точка A на­хо­дит­ся в узле сетки (см.рис).

Если точка B сим­мет­рич­на точке А от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат, то длина от­рез­ка АВ равна:

Среди дан­ных чисел ука­жи­те но­ме­ра чет­ных чисел, если из­вест­но, что число а  — не­чет­ное.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти даны точка А, рас­по­ло­жен­ная в узле сетки, и пря­мая l (см. рис.). Опре­де­ли­те ко­ор­ди­на­ты точки, сим­мет­рич­ной точке А от­но­си­тель­но пря­мой l.

Гра­фик урав­не­ния 1,8x − 0,6y  =  a про­хо­дит через точку А(−2; 9). Най­ди­те число a.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

От­ре­зок AB пе­ре­се­ка­ет плос­кость α в точке O. Точка M делит от­ре­зок AB в от­но­ше­нии 3 : 2, счи­тая от точки А. Из точек А, В, M про­ве­де­ны па­рал­лель­ные пря­мые, пе­ре­се­ка­ю­щие плос­кость α в точ­ках A₁, B₁, M₁ со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те длину от­рез­ка ММ₁, если

Ука­жи­те но­ме­ра урав­не­ний, ко­то­рые не имеют дей­стви­тель­ных кор­ней.

Диа­метр окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет хорду под углом 60° и точ­кой пе­ре­се­че­ния делит ее на от­рез­ки дли­ной 2 и 12. Най­ди­те квад­рат ра­ди­у­са окруж­но­сти.

Най­ди­те сумму всех на­ту­раль­ных чисел n, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство НОК(n,63)  =  63.

Длина одной сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го участ­ка на 25 м мень­ше дру­гой. Най­ди­те все зна­че­ния длины (в мет­рах) его боль­шей сто­ро­ны а, при ко­то­рых для пол­но­го ограж­де­ния участ­ка будет ис­поль­зо­ва­но не более 240 м де­ко­ра­тив­ной сетки.

Рас­по­ло­жи­те числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Сумма кор­ней (ко­рень, если он един­ствен­ный) урав­не­ния равна (равен):

Вы­бе­ри­те все вер­ные утвер­жде­ния, яв­ля­ю­щи­е­ся свой­ства­ми не­чет­ной функ­ции опре­делённой на и за­дан­ной фор­му­лой при

1.  Функ­ция имеет три нуля.

2.  Функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ке [6; 9].

3.  Мак­си­мум функ­ции равен 25.

4.  Ми­ни­маль­ное зна­че­ние функ­ции равно -25.

5.  

6.  Функ­ция при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния при

7.  Гра­фик функ­ции сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но оси абс­цисс.

Ответ за­пи­ши­те в виде по­сле­до­ва­тель­но­сти цифр в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. На­при­мер: 123.

Диа­го­на­ли тра­пе­ции равны 15 и 20. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ее сред­няя линия равна 12,5.

Вы­бе­ри­те три вер­ных утвер­жде­ния, если из­вест­но, что две пер­пен­ди­ку­ляр­ные плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой a и точка A при­над­ле­жит плос­ко­сти (см. рис.).

1.  Любая пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пе­ре­се­ка­ю­щая плос­кость пе­ре­се­ка­ет пря­мую a.

2.  Су­ще­ству­ет един­ствен­ная пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти

3.  Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A и пер­пен­ди­ку­ляр­ная плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

4.  Любая точка пря­мой a лежит в плос­ко­стях и

5.  Любая пря­мая, ле­жа­щая в плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой a, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти

6.  Любая пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная пря­мой a, при­над­ле­жит плос­ко­сти

Ответ за­пи­ши­те циф­ра­ми (по­ря­док за­пи­си цифр не имеет зна­че­ния). На­при­мер: 123.

Най­ди­те пе­ри­метр пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, мень­шая диа­го­наль ко­то­ро­го равна

Най­ди­те про­из­ве­де­ние наи­мень­ше­го корня (в гра­ду­сах) на ко­ли­че­ство раз­лич­ных кор­ней урав­не­ния на про­ме­жут­ке (−90°; 90°).

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD равна 20. Точки M, N, P, Q  — се­ре­ди­ны его сто­рон. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка между пря­мы­ми AN, BP, CQ, DM.

Най­ди­те про­из­ве­де­ние наи­боль­ше­го це­ло­го от­ри­ца­тель­но­го и наи­боль­ше­го це­ло­го по­ло­жи­тель­но­го ре­ше­ний не­ра­вен­ства

Най­ди­те про­из­ве­де­ние кор­ней (ко­рень, если он един­ствен­ный) урав­не­ния

ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, у ко­то­рой AB  =  5, AA₁  =  5. Точки Р и Q  — се­ре­ди­ны ребер АВ и А₁С₁ со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния где   — угол между пря­мы­ми PQ и АВ₁.

Най­ди­те про­из­ве­де­ние наи­боль­ше­го от­ри­ца­тель­но­го и наи­мень­ше­го по­ло­жи­тель­но­го целых ре­ше­ний не­ра­вен­ства

Най­ди­те все пары (m, n) целых чисел, ко­то­рые свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем m² + 2m  =  n² + 6n + 13. Пусть k  — ко­ли­че­ство таких пар, m₀  — наи­мень­шее из зна­че­ний m, тогда зна­че­ние вы­ра­же­ния k · m₀ равно ... .

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб, длина ребра ко­то­ро­го равна Сфера про­хо­дит через его вер­ши­ны В и D₁ и се­ре­ди­ны ребер BB₁ и CC₁. Най­ди­те пло­щадь сферы S, в ответ за­пи­ши­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Петя за­пи­сал на доске два раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Затем он их сло­жил, пе­ре­мно­жил, вычел из боль­ше­го за­пи­сан­но­го числа мень­шее и раз­де­лил боль­шее на мень­шее. Сло­жив че­ты­ре по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та, Петя по­лу­чил число 1521. Най­ди­те все такие пары на­ту­раль­ных чисел. В ответ за­пи­ши­те их сумму.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник ABCD, диа­го­на­ли АС и BD ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­ны и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, АО  =  9, ОС  =  16, ВО  =  OD  =  12. Вер­ши­на S пи­ра­ми­ды SABCD уда­ле­на на рас­сто­я­ние от каж­дой из пря­мых AB, BC, СD и AD. Через се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды SABCD па­рал­лель­но ее ос­но­ва­нию про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, ко­то­рая делит пи­ра­ми­ду на две части. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 10 · V, где V  — объем боль­шей из ча­стей.